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Racine carré

Partie intéressante qui tente de résoudre la question de comment calcule t'on une racine carré d'un nombre ? Nombres de problèmes étaient déjà au temps des babyloniens actuel pour l'enseignement mathématique.
Nous savons qu'un nombre au carré est un nombre multiplié par lui même et que si nous mettons au carré une racine, nous obtenons le nombre sous la racine.

Voici comment obtenir le résultat des principales racines utilisé :
√(2) √(3) √(5), commencons par 2 :

Si je multiplie 1 au carré j'obtiens 1, mais si je multiplie 2 au carré j'obtiens 4 et je dépasse largement le chiffre initial étant 2. Gardons le chiffre 1.

Je continue avec un autre chiffre mais je suis obligé de mettre une virgule pour ne pas dépasser le chiffre 2.
Essayons avec 1 ce qui me donne 1.1 que je mets au carré, nous obtenons 1.21, nous avons de la marge on est loin du 2
Essayons avec 8 ce qui me donne 1.8 que je mets au carré, nous obtenons 3.24, nous sommes bien au dessus du 2 donc impossible
Essayons avec 4 ce qui me donne 1.4 que je mets au carré, nous obtenons 1.96, nous pourrons pas nous rapproché plus près de 2 donc gardons le chiffre 4.

Je continue avec un autre chiffre...
Essayons avec 1 ce qui me donne 1.41 que je mets au carré, nous obtenons 1.9881, nous sommes pas loin du 2
Essayons avec 2 ce qui me donne 1.42 que je mets au carré, nous obtenons 2.0164, nous sommes bien au dessus du 2 donc impossible
On constate bien que 1 ne peut etre que la solution,gardons le chiffre 1.

Biensûr la méthode est longue, un algorythme peut accélerer le calcul, bien que notre base 10 actuel n'équivaut pas la base 60 que les babyloniens utilsaient.

Je vais revenir un instant sur le problème posé sur la célèbre tablette :

Tablette YBC_7289 sur la racine carré

en valeur décimale il est gravé : 1 ; 24 ; 51 ; 10
Ce qui signifie que 24/60 donne 0.4 et donc 1+0.4 donne 1.4 un résultat approximatif de la racine carré
Ce qui signifie que 51/60² donne 0.01416 et donc 1+0.4+0.01416 donne 1.41416 un résultat approximatif de la racine carré
Ce qui signifie que 10/60^3 donne 4.6296 e-5 et donc 1+0.4+0.01416+4.6296 e-5 donne 1.41421296 un résultat qui se veut correct de la racine carré de 2

Voila une explication rapide de la solution donné par la tablette.

Pi ( 2eme partie )


Le calcul de Pi a nécéssité bon nombres d'années et avoir nécessité plusieur mathématiciens renommé pour avoir une approximation du nombre réel de Pi ( circonférence d'un cercle )
Le nombre π est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racinec.

La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée par ce nombre l’a même fait entrer dans la culture populaire.

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu'il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi qu'entre l'aire du disque et le carré du rayon. Des tablettes babyloniennes datant de 2 000 ans av. J.-C. et découvertes en 1936 présentent des calculs d'aire conduisant à une valeur de π de 3 + 1/831.
Ce recouvrement imparfait de l'aire du disque par un octogone peut conduire à une approximation de l'aire du disque, et donc du nombre π.

Découvert en 1855, le papyrus de Rhind contient le texte, copié au xvie siècle avant notre ère par le scribe égyptien Ahmès, d'un manuel de problèmes plus ancien encore. On y trouve utilisé plusieurs fois une méthode pour évaluer l'aire d'un disque en prenant le carré dont le côté est égal au diamètre du disque diminué d'un neuvième. Cette méthode conduit à une évaluation de π de 256⁄81.

Une justification possible de celle-ci s'appuie sur le schéma ci-contre. Si le disque a pour diamètre 9. L'aire du disque est légèrement supérieure à l'aire de l'octogone (irrégulier) obtenu en rognant les coins du carré de côté 9. Cet octogone a pour aire 63, l'aire du disque est alors évaluée à 64 soit l'aire d'un carré de côté 8. Le rapport entre l'aire du disque et le carré du rayon est alors évalué par 64/(9/2)2, c'est-à-dire 256/8132. Mais l'hypothèse que ce procédé ait conduit à l'approximation du papyrus Rhind ne fait pas l'unanimité chez les historiens.

Vers 700 av. J.-C., le texte indien Shatapatha Brahmana donne une approximation de π : 25/8 (= 3,125) et le Baudhāyana Sulbasūtra en donne deux autres : 900/289 (≈ 3,11) et 1156/361 (≈ 3,20). Des calculs d'astronomie ont ensuite conduit à une autre approximation védique : 339/108 (≈ 3,139). Au début du vie siècle apr. J.-C., Aryabhata donne une approximation plus précise : 3,1416. Comme |π – 3,1416| < 0,0000075, il s'agit d'un résultat remarquable, exact à 10−5 près.

C'est dans le traité d'Archimède (287 à 212 av. J.-C.) intitulé De la mesure du cercle que l'on peut lire une démonstration liant l'aire du disque et l'aire du triangle ayant une base de longueur le périmètre du cercle et pour hauteur le rayon, démontrant ainsi qu'une même constante apparaît dans le rapport entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.

Cette démonstration s'appuie sur la méthode d'exhaustion et un raisonnement par l'absurde. En partant d'un carré inscrit dans le cercle et d'un carré circonscrit au cercle et en multipliant indéfiniment par 2 le nombre de côtés, il prouve que l'aire du disque ne peut être inférieure ni supérieure à celle du triangle correspondant.

Mais les anciens avaient l'habitude de calculer dans des triangles alors peut on trouver la circonférence d'un cercle si nous utilisions des triangles rectangles ?
Si nous prenons un Triangle d'hypothénuse égale au rayon soit 1 pour respecter la rigueur de nos anciens, que nous prenons un coté se rapprochant de cette valeur un maximum soit 0.9, quel sera le coté opposé ? ( Les dessins seront exagérés pour la compréhension )



Un calcul vite fait en utilisant Pythagore nous donne rapidement cette valeur mais dans quel but avons nous cette valeur ?

Avec ce premier triangle ABC il reste un espace du cercle et pour obtenir une valeur approximative de l'arc de cercle restant on utilise un 2eme Triangle rectangle



Ce 2eme Triangle BCD a donc l'hypothénuse, le coté adjacent dont nous avons calculé la valeur et le coté opposé dont il suffit de retrancher 1 a 0.9 donc 0.1.Calcul de pythagore pour trouvé cette valeur de l'hypothénuse
Maintenant reste a savoir de quel degré parle t'on ? Petit calcul en prenant le coté adjacent 0.1 que l'on divise a l'hypothénuse ( Cosinus de l'angle )

On inverse le sinus pour avoir directement la valeur sur un arc de 90°

Pour connaitre combien de fois il y a cet angle dans 90° on divise 90 par le résultat fraichement obtenu

Pour connaître le circonférence on multiplie l'hypothénuse du 2eme triangle par le nombre de fois qu'apparait l'angle.

Evidemment, j'ai pris pour exemple 1 et 0.9 mais si on zoom de très très près, nous obtenons un résultat encore plus précis.

Par cette méthode, j'obtiens une valeur de Pi a une précision de 10^-14 :